Combinaciones de seguridad

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Candado para laptop

Candado de seguridad de combinación de cuatro dígitos para laptop

Tengo un candado que me permite asegurar mi laptop a cualquier cosa que se pueda amarrar —de preferencia, algo que sea mucho más difícil de mover que mi laptop, porque si no, ¡se llevan las dos cosas! El candado es de combinación de cuatro dígitos y solamente una combinación de todas las posibles lo abre; algo así como el NIP (número de identificación personal) de una tarjeta de débito o crédito.

Cada vez que uso el candado para asegurar mi laptop, procuro dejar el candado en ceros, como se muestra en la imagen de arriba, para no dar pista alguna sobre la combinación que abre el candado a quien se le antoje llevarse mi laptop —de esta manera, he pensado, tendrán que probar muchas de las combinaciones posibles antes de dar con la que abre el candado. Como el candado tiene cuatro ruedas con 10 dígitos (del 0 al 9), esto quiere decir que hay

\[ 10\times 10\times 10\times 10 = 10^4 = 10,000\]

combinaciones posibles, muchas de las cuales tendrá que probar el ladrón antes de dar con la correcta.

Sin embargo, hoy que iba caminando por la calle me puse a imaginar qué pensaría un ladrón tratando de adivinar la clave correcta o, por lo menos, buscando no tener que probar tantas antes de dar con ella. Se me ocurrió entonces lo siguiente:

  1. Eliminación del cero. “Mmm… dejó el candado en ceros. Lo más probable entonces es que el 0 no sea parte de la combinación que abre el candado, porque de otra forma sentiría que me está regalando un dígito”. Podrás pensar que esta primera reflexión del ladrón  solamente eliminaría un dígito de cada rueda, que aparentemente no es gran cosa; pero si fuera el caso el nuevo número combinaciones posibles sería \[ 9 \times 9 \times 9 \times 9 = 9^4 = 6,561\] lo cual nos dice que con sólo este razonamiento el ladrón eliminaría ¡más de la tercera parte de las combinaciones posibles!
  2. Eliminación de repetidos. “Como tiene cuidado de poner el candado en ceros, probablemente tuvo cuidado al escoger los números de la combinación y buscó no repetirlos, para hacer la combinación más difícil”. ¿Cuántas combinaciones posibles, sin ceros, cumplen esta condición? Bueno, el primer dígito (llamémosle \(d_1\)) puede ser cualquiera  de 1 a 9, lo que nos da nueve opciones en total; el segundo dígito (llamémosle \(d_2\)) puede ser cualquier de 1 a 9, pero distinto de \(d_1\), lo que nos da ocho opciones en total; y siguiendo el mismo razonamiento, solamente se puede escoger de entre siete opciones para el tercer dígito y de entre seis opciones para el cuarto. El número de combinaciones posibles después de aplicar el razonamiento que elimina el cero y el razonamiento que elimina dígitos repetidos es entonces \[9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3,024\] con lo cual el ladrón habría eliminado ya ¡más de dos terceras partes de las combinaciones posibles!
  3. Números bien repartidos. “Y si fue tan cuidadoso, probablemente buscó repartir bien los dígitos entre 0 y 9, para que no hubiera solamente números pequeños, o grandes, o números seguidos” ¿Cuántas combinaciones posibles hay que no incluyen el cero, que tienen número sin repetir y que usa dígitos “bien repartidos”? Como necesitamos escoger cuatro dígitos, podemos dividir los dígitos del 1 al 9 en cuatro grupos:
    • los más chiquitos: 1 y 2;
    • los pequeños: 3, y 4;
    • los medianos: 6 y 7;
    • los grandes: 8 y 9.

    El 5 lo podemos poner ya sea entre los pequeños o los medianos. Entonces, para el primer dígito, \(d_1\), podemos escoger cualquiera entre 1 y 9, lo que nos da nueve opciones en total; para el segundo dígito, \(d_2\), podemos escoger cualquier dígito entre 1 y 9 que no esté en el grupo de \(d_1\), lo cual nos da como máximo siete opciones; para el tercer dígito, \(d_3\), podemos escoger cualquier dígito entre 1 y 9 que no esté ni en el grupo de \(d_1\) ni en el grupo de \(d_2\), lo cual nos da cinco opciones como máximo; y para el cuarto dígito, \(d_4\), no tendremos más de tres opciones. Así que las tres reflexiones juntas le dejarían al ladrón un número total de solamente \[9\times 7\times 5 \times 3 =  945\] combinaciones. Esto es, ¡habría eliminado más del 90% de todas las combinaciones posibles!

Como te podrás imaginar, la combinación que tan cuidadosamente escogí para mi candado ¡está entre esas 945 combinaciones que probaría el ladrón! Lo cual nos habla de lo predecibles que somos con frecuencia los seres humanos, de la importancia de escoger combinaciones de candados y NIP al azar —mucho más difíciles de “adivinar”— y de la importancia que tiene la combinatoria en el mundo real, particularmente en el contexto de la seguridad (creación y rompimiento de contraseñas).

Llenando los huecos

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Secuencia de vuelo de gaviota Cortesía de Denis Doukhan vía Pixabay

En la mayor parte de las notas anteriores hemos manejado secuencias —para aproximar a \(\pi\) y a \(\sqrt{2}\), para introducir el concepto de límite y para comparar sus velocidades de crecimiento— lo cual tiene sentido porque lo primero que aprendemos de las matemáticas es a contar y al hacerlo ordenamos los números que aprendemos, empezando con el más pequeño, 1, y de ahí en adelante. Creamos así nuestra primera secuencia:

1, 2, 3, 4, 5,…

Dos es más grande que 1 porque las colecciones de cosas que contamos con 2 tienen más cosas —una más, de hecho— que las colecciones que contamos con uno. Tres es más grande que 2, 4 es más grande que 3, y así nos seguimos.

Todas las demás secuencias  que hemos construido son simplemente un ordenamiento de otros números que realizamos asociando uno de ellos con el 1, otro con el 2, otro con el 3 y así sucesivamente. Por ejemplo,

\[\begin{matrix}
1 & \to & 1^2 \\
2 & \to & 2^2 \\
3 & \to & 3^2 \\
\dots\\
\end{matrix}
\]

lo cual solemos escribir poniendo los números 1, 2, 3, etc. como subíndices de una letra,

\[s_1 = 1^2, s_2 = 2^2, s_3 = 3^2,…, s_n = n^2.\]

Con el tiempo, los seres humanos pasaron de solamente contar a también medir y con ello surgieron otros números: los racionales o fracciones. Al medir “descubrimos” huecos entre los números enteros que podíamos llenar con una infinidad de fracciones.

Algunas fracciones entre 0 y 1

Como se comentó en La locura de raíz de 2, primero se pensó que con las fracciones se llenaban todos los huecos entre los números enteros, pero resultó que no: que había otros números que no se podían escribir como fracciones, como es el caso de \(\pi\) y \(\sqrt{2}\), entre muchísimos otros. Con ellos se llenaron finalmente todos los huecos.

Los nuevos números enriquecen nuestras secuencias en dos sentidos. El más sencillo, es que ahora podemos tener secuencias de números enteros, racionales o irracionales. Por ejemplo,

\[\begin{matrix}
1 & \to & \sqrt{1} \\
2 & \to & \sqrt{2} \\
3 & \to & \sqrt{3} \\
\dots\\
\end{matrix}
\]

La otra, más interesante, es que podemos tener “secuencias” en las que los índices no son ya nuestros queridos números enteros:

\[\begin{matrix}
1 & \to & 2^1 \\
\frac{1}{2} & \to & 2^{\frac{1}{2}} \\
\sqrt{2} & \to & 2^{\sqrt{2}} \\
\pi & \to &2^\pi\\
\dots\\
\end{matrix}
\]

De esta manera, la gráfica de las secuencias lineal, cuadrática, cúbica y exponencial, que observamos punteadas en la nota Crecimiento exponencial, ahora se ven como una una línea continua, porque están definidas para todos los números:

Gráfica conjunta de las funciones lineal, cuadrática, cúbica y exponencial

Para distinguir estas “secuencias” nuevas de las secuencias anteriores, a estas últimas les llamamos funciones y usamos una notación distinta:

\[\begin{matrix}
f(x)&=x \\
g(x)&=x^2 \\
h(x)&=x^3 \\
p(x)&=e^x\\
\dots\\
\end{matrix}
\]


Esta entrada participa en la Edición 8.4 “Matemáticas de todos y para todos” del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es, en esta ocasión, matematicascercanas.

Crecimiento exponencial

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En la nota Antes de \(\pi\) aproximamos el valor de \(\pi\) mediante la construcción de polígonos de 4, 8, 16, 32 y 64 lados; esto es,

\[2^2\!, 2^3\!, 2^4\!, 2^5 \text{y}\  2^6\ \text{lados.}\]

Por otra parte, en la nota La raíz de 2 aproximamos el valor de \(\sqrt{2}\) dividiendo el segmento de recta entre 1 y 2 en dos partes, la mitad en dos partes, la cuarta parte en dos partes, etc.; esto es, construimos segmentos de recta de longitud

\[1, \frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\dots\]

que es lo mismo que decir

\[1, \frac{1}{2},\frac{1}{2^2},\frac{1}{2^3},\dots\]

¿Por qué lo hicimos así? Bien pudimos haber utilizado  secuencias más simples como

\[4, 5, 6, 7, 8,\dots\quad\text{y}\quad 1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\dots\]

o un poco más complejas como

\[4, 9, 16, 25, 36,\dots\ \text{; esto es,} \  2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2,\dots\]

En otras palabras, ¿por qué construir una secuencia con una base fija y hacer que el exponente crezca, como en

\[2^1\!, 2^2\!, 2^3\!, 2^4\!, 2^5\!,\dots\text{,}\]

en vez de dejar el exponente fijo y hacer que la base crezca, como en

\[1^2\!, 2^2\!, 3^2\!, 4^2\!, 5^2\!,\dots\text{?}\]

Cuenta la leyenda que uno de los primero en usar secuencias donde el exponente crece fue el inventor del ajedrez, quien como regalo por haber inventado un juego que le gustaba tanto a su rey le pidió simplemente

Tablero y granos

Imagen cortesía de Wikipedia.

  1. Un grano de trigo por la primera casilla del tablero.
  2. Dos granos de trigo por la segunda casilla.
  3. Cuatro granos por la tercera.
  4. Ocho granos por la cuarta.
  5. Etc.

El rey pensó que el juego le había salido muy barato y (antes de que su inventor se arrepintiera y pidiera un premio más grande) mandó a sus sirvientes a que entregaran el premio inmediatamente. Mas al poco tiempo los sirvientes regresaron para decirle que no podían darle al inventor del ajedrez el premio que quería porque ¡no había tanto trigo en todo el país!

Puedes hacer las cuentas y no te llevará mucho tiempo calcular que el inventor del ajedrez no pedía menos de

¡36,893,488,147,419,103,231 granos de  trigo!

Poco más de 36 millones de billones de granos de trigo. Si asumimos que un grano de trigo pesa en promedio 0.06479891 gramos —esto es, que en un kilo de trigo hay 15,432 granos, lo que el inventor del ajedrez pedía era nada menos que

¡2,390,657,818,050.7 toneladas de trigo!

Poco más de dos billones de toneladas de trigo, que equivalen aproximadamente a ¡tres mil veces la producción de trigo en todo el mundo el año pasado! Demasiado, ¿no crees? —por mucho que nos guste el ajedrez.

Como puedes ver, las secuencias exponenciales, llamadas así porque es el exponente el que crece en vez de la base, crecen muy, muy rápido. Tan rápido que rebasan rápidamente a las secuencias lineales, cuadráticas, cúbicas, etc., como lo puedes ver en la siguiente gráfica.

Gráficas de crecimiento exponencial

Comparación de crecimientos

Como puedes ver, la secuencia lineal —\(1, 2, 3, 4, 5,\dots\), representada en la gráfica con segmentos de línea de color rojo— se queda atrás muy pronto, y lo mismo sucede con la secuencia cuadrática —\(1, 2^2\!, 3^2\!, 4^2\!, 5^2\!,\dots\)¸ representada en la gráfica con cuadros azules. La secuencia cúbica —\(1, 2^3\!, 3^3\!, 4^3\!, 5^3\!,\dots\), representada en la gráfica con triángulos verdes— se defiende un poco más, pero no tarda mucho en quedarse atrás de la secuencia exponencia —\(1, 2^1\!, 2^2\!, 2^3\!, 2^4\!,\dots\), representada en la gráfica con círculos negros.

Pero ¿que sucedería si usáramos una secuencia como \(n^{1234567890}\) o con un exponente aún más grande, en vez de simplemente \(n\),\(n^2\!\) o \(n^3\!\)? ¿De todos modos ganaría \(2^n\)?

Órdenes de crecimiento

Una manera de comparar cómo crecen las secuencias es dividiendo sus términos uno a uno, creando así  una secuencia nueva  y observando qué sucede con ella. Por ejemplo, si dividimos la secuencia lineal entre la secuencia cuadrática obtenemos

\[\frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}\]

y en la nota Al infinito y justo ahí encontramos que el límite de esta secuencia, cuando \(n\) crece infinitamente, es cero,

\[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0,\]

por lo que podemos decir que la secuencia \(n^2\) “le gana” o crece más rápido que la secuencia \(n\). En cambio, si comparamos el crecimiento de la secuencia \(n\) con el crecimiento de la secuencia \(2n\) tenemos que

\[\frac{n}{2n} = \frac{1}{2}\]

y la secuencia que resulta es constante, nunca cambia de \(\frac{1}{2}\), por lo que podemos decir que su límite es \(\frac{1}{2}\),

\[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2} = \frac{1}{2},\]

y en este caso decimos que ni \(n\) ni \(2n\)  “ganan” o que ambas crecen igual de rápido —aunque \(2n\) es siempre el doble de \(n\), nunca pasa de ahí.

Como sucede con los límites de las secuencias, sus velocidades de crecimiento son útiles para muchas cosas en matemáticas —¡y en computación!— y les hemos dado un nombre formal: hablamos de órdenes de crecimiento y usamos el símbolo \(O\), como en \(O(n)\), para hablar de la velocidad de crecimiento de una secuencia —de la misma manera en que los karatecas usan cintas de colores.

Escribimos entonces

\[O(n) = O(2n)\quad\text{y}\quad O(n) < O(n^2)\]

para decir que las secuencias \(n\) y \(2n\) crecen a la misma velocidad, pero que la secuencia \(n^2\) crece más rápido que ellas.

En general, si el exponente \(p\) es más grande que el exponente \(q\), entonces la secuencia \(n^p\) crece más rápido que la secuencia \(n^q\) —lo puedes demostrar fácilmente— y entonces

\[O(n^p) > O(n^q).\]

¿Qué podemos decir entonces de la secuencia exponencial? Se sabe —y lo demostraremos en otra nota más adelante— que crece más rápido que cualquier secuencia \(n^p\) sin importar que tan grande es \(p\). Esto es,

\[O(2^n) > O(n^p).\]

Por eso es que la escogimos para calcular el valor de \(\pi\), porque hace que el número de lados del polígono inscrito crezca muy rápido, y por eso la escogimos para calcular el valor de \(\sqrt{2}\), porque hace que el tamaño del segmento de recta donde encerramos a \(\sqrt{2}\) disminuya muy rápido. Por eso la escogió también el inventor del juego de ajedrez para obtener su premio 😉

Al infinito y justo ahí

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En la primera nota de este blog, Antes de Pi (\(\pi\)), se presenta una manera de aproximar el valor de \(\pi\) tanto como sea necesario mediante la construcción de polígonos inscritos en un círculo Asimismo, en la segunda nota de este blog, La raíz de 2, se usa un esquema similar para aproximar el valor de \(\sqrt{2}\) tanto como sea necesario. Esto es parecido cuando decimos que

\[\frac{1}{3} = 0.333333\dots\]

queriendo expresar con ello que podemos acercarnos a \(\frac{1}{3}\) tanto como queramos agregando el digito 3 tantas veces como sea necesario a la derecha del punto decimal. Pero en este caso damos un paso más allá al escribir

\[\frac{1}{3} = 0.\bar{3}\]

para decir que \(\frac{1}{3}\) es exactamente igual al decimal formado añadiendo el dígito 3 un número infinito de veces a la derecha del punto decimal. Todo un misterio en nuestra formación básica en matemáticas ¿no es así?. ¿Cómo podemos añadirle un número infinito de cualesquiera dígitos a un número decimal?

Pensemos en la siguiente secuencia de números

\[1\quad \frac{1}{2}\quad \frac{1}{3}\quad \frac{1}{4}\quad \frac{1}{5}\quad\dots\]

Claramente, como estamos dividiendo cada vez entre un número mayor que todos los anteriores, los números en la secuencia son cada vez más pequeños, como se ilustra en la siguiente gráfica:

Gráfica de la secuencia

Representación gráfica

Si damos un millón o un trillón o un cuatrillón de pasos en la secuencia, nos encontraremos con números muy, muy pequeños, cuya representación gráfica casi está sobre la pequeña línea vertical que representa el lugar del cero; pero si pudiéramos aplicar un aumento suficiente a la imagen, nos daríamos cuenta que todavía hay espacio para el número siguiente y el siguiente y el siguiente… tantos como queramos andar en la secuencia.

Otro aspecto interesante de la secuencia es que si pudiéramos usar una lupa muy poderosa para observar el lugar del cero, nuestros primeros pasos en la secuencia quedarían fuera del foco de la lupa;  pero si siguiéramos avanzando, en algún momento —quizás en el quntillonésimo paso, o  más adelante— entraríamos en el foco de la lupa y ya no saldríamos de ahí, sin importar qué tan poderosa fuera nuestra lupa.

En resumen, los números en la secuencia se van acercando cada vez más al cero, entrando en cualquier espacio que definamos alrededor del cero sin importar que tan pequeño sea, y además quedándose ahí en algún paso y los que le siguen.

Decimos entonces que cero es el límite de la secuencia y lo escribimos así:

\[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0\]

La misma notación nos permite representar el caso de \(\frac{1}{3}\) como límite de la secuencia 0.3, 0.33, 0.333, etc.

\[\lim_{n\to\infty}0.\overbrace{33\dots3}^{n} =\frac{1}{3} \]

dejando así mucho más claro —¡eso espero!— lo que queremos decir con \(\frac{1}{3}\) es exactamente igual al decimal formado añadiendo el dígito 3 un número infinito de veces a la derecha del punto decimal.

Posdata

Sobre la raíz de 2

No es difícil demostrar que el procedimiento descrito en La raíz de 2 tiene un límite y este es, precisamente, \(\sqrt{2}\). Para usar la notación anterior, tendríamos que definir la secuencia de manera recursiva: \(s_1 = 1\), \(s_2=2\) y definir \(s_{n}\) en términos de los elementos anteriores. En este caso particular, es más fácil usar un algoritmo con el que se presenta a continuación escrito en el lenguaje de programación Python:

mindiff = 0.000000000000001 

min = 1.0
max = 2.0

print "1 : %.16f"%(min)
print "2 : %.16f"%(max)

n = 3
sn = (min + max) /2

while abs(sn*sn - 2.0) > mindiff :
  print n, ": %.16f"%(sn)
  if sn*sn < 2.0 :
    min = sn
  else:
    max = sn
  sn = (min + max)/2
  n = n+1
print n, ": %.16f"%(sn)

Sobre Pi (\(\pi\))

Demostrar que el procedimiento descrito en Antes de Pi (\(\pi\)) tiene un límite y que éste es precisamente \(\pi\) (el número por el que se tiene que multiplicar el diámetro para calcular el perímetro de la circunferencia) es algo más complicado, pero también es posible. Definir, la secuencia, en cambio, es mucho más fácil 🙂

Sobre la definición de límite

Aunque se introdujo una notación para representar límites, no se definió formalmente su significado, para lo cual puede servir de inspiración el texto previo a la introducción de la notación que describe de manera informal las dos condiciones básicas para su existencia.

Coincidencia de edades

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Cottish Cottish en 2016

Cottish es un perro tipo Schnauzer miniatura con patas cortas y pelo rizado que nació el 5 de febrero de 2010. Es un perro muy cariñoso y obediente, pero que tiene la costumbre de creer que es el perro alfa del condominio donde vive, del parque donde juega y de las calles donde pasea, lo cual le ha traído algunos problemas con perros más grandes que él, que no lo ven así.

¡Suéltenme! ¡Suéltenme!

Al día de hoy (28 de diciembre de 2016), Cottish tiene 6 años 10 meses y 23 días de nacido, que según el American Kennel Club (AKC) equivalen aproximadamente a 43 años humanos. Esto es así porque los perros envejecen más rápido y, de acuerdo con el AKC, el primer año de un perro pequeño como Cottish equivale a 15 años de un ser humano, el segundo año equivale a 9 años de un ser humano y cada siguiente año equivale a 4 años de un ser humano. Esto es, si Cottish llegara a vivir 16 años, éstos equivaldrían a ¡80 años humanos!.

El dueño de Cottish, a quien los niños del condominio llaman cariñosamente “Don Cottish”, nació el 13 de abril de 1964 y al día de hoy (28 de diciembre de  2016) tiene 52 años 8 meses y 15 días; esto es, es más viejo que Cottish por casi diez años. Pero si Cottish llegara a vivir 16 años (80 años humanos), Don Cottish tendría solamente 62 años para esas fechas, porque Cottish envejece más rápido.

A Don Cottish le encantaría celebrar con una gran fiesta el día en que él y su perro tengan exactamente la misma edad, a lo que llama ya el día de la Coincidencia de sus Edades. Pero no sabe que fecha será esa y, por lo tanto,  tampoco sabe cuánto tiempo tiene para planear la fiesta.

¿Le ayudas a encontrarla?

La locura de raíz de 2

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Antes del siglo VI A.C. —esto es, hace más de 2500 años— las matemáticas tenían un carácter puramente práctico: servían para contar el ganado, para medir terrenos, para calcular el volumen de recipientes, entre otros muchos usos. A lo largo de la historia de la humanidad, mucho del desarrollo y del aprendizaje de las matemáticas ha tenido ese carácter práctico: para resolver problemas del mundo real.

En el siglo VI A.C., los griegos empezaron a ver y construir las matemáticas de manera distinta. Observaron que podemos dibujar un cuadrado en una hoja de papel sin tener que pensar que representa algo físico, como podría ser un terreno para construir o el piso del cuarto en una casa:

Cuadrado pintado a mano

Cuadrado pintado a mano

Aunque utilicemos una regla y una buena pluma, si observamos el cuadrado con una lupa de bastante aumento nos daremos cuenta que no es perfecto, porque a veces la tinta se corre un poco hacia adentro o hacia afuera. Mucho menos es el caso de un cuadrado pintado a mano alzada como el de arriba—bueno, con la mano alzada sobre el ratón de la computadora ;-). Sin embargo, podemos  imaginarlo como un cuadrado perfecto, con cuatro lados de exactamente el mismo tamaño y con ángulos de 90° entre ellos. Si imaginamos que cada lado mide 4 centímetros, podemos calcular el área del cuadrado con total precisión: \(4\times4 = 16\); \(16 \mbox{cm}^2\) exactos.

Busto de Pitágoras

Pitágoras en el Foro Romano

Algunos pensadores griegos empezaron a explorar estas nuevas matemáticas, inspiradas en el mundo real pero independientes, sustentadas en conceptos puros y exactos, como los de punto, línea, uno, dos, tres… y quedaron maravillados con lo que encontraron. Tanto así que llegaron a pensar que lo verdaderamente real eran las matemáticas, los números  y las figuras geométricas, puras y exactas, y que la realidad que observamos es solamente una sombra imprecisa de esa realidad divina. Para ellos cinco gatos y cinco perros eran solamente la sombra del número 5, el espíritu que compartían, sin importar su color de piel, su tamaño, su raza e incluso su especie.

Llegó así a formarse una secta religiosa —conocida como Los Pitagóricos por el nombre de su líder, Pitágoras— que adoraba los números enteros y las figuras geométricas. En particular, pensaban que cualquier cosa podía medirse utilizando  números enteros; esto es, que sí tenemos dos o más segmentos de recta de tamaños diferentes

Dos segmentos de rectas de diferente tamaño

Segmentos de recta de tamaños diferentes

siempre podemos encontrar un segmento de recta que cabe exactamente un número entero de veces en cada segmento de recta.

Segmentos medidos por unidad común

Segmentos de recta divididos por segmento común

En este caso, tenemos un pequeño segmento de recta que divide al segmento de arriba en \(15\) partes y al de abajo en \(11\) partes. Si el de arriba fuera nuestra unidad de medida, entonces mediría \(1\) y el de abajo mediría
$$\frac{11}{15}$$

Al revés, si el de abajo fuera nuestra unidad de medida, entonces mediría \(1\) y el de arriba mediría
$$\frac{15}{11}$$

Fue entonces cuando hicieron dos ENORMES descubrimientos. El primero tiene que ver con establecer con absoluta precisión la longitud de la diagonal de un cuadrado a partir de la longitud de sus lados. El segundo, con encontrar un segmento de recta que divida exactamente a los lados y a la diagonal de un cuadrado.

El video que se muestra a continuación describe el primer descubrimiento.

 

Al final del video se resaltan tres cuadrados —puedes moverte al final del video para seguir la explicación —, dos de ellos iguales al cuadrado original, con dos triángulos del mismo tamaño. En cambio, el tercer cuadrado, el más grande, tiene como lado la diagonal del cuadrado original y tiene cuatro triángulos iguales. Esto es… ¡el área del cuadrado grande es la misma que el área de los dos cuadrados pequeños juntos!

Si usamos \(a\) para representar la longitud del lado del cuadrado original, tenemos entonces que el área de cada cuadrado pequeño es \(a^2\) y el área del cuadrado grande es entonces
$$2a^2$$

Si \(a=1\) entonces el área del cuadrado grande es simplemente \(2\) y su lado, la diagonal de cuadrado original, mide
$$\sqrt{2}$$

Los Pitagóricos se pusieron tan felices con este descubrimiento que ¡organizaron una gran fiesta!

Su segundo descubrimiento, en cambio, no los hizo tan felices. Buscando un segmento de recta que cupiera exactamente un número entero de veces en \(\sqrt{2}\) y exactamente otro número entero de veces en \(1\), encontraron que si esto fuera posible y \(p\) fuera el número de veces que cupiera en \(\sqrt{2}\) y \(q\) el número de veces que cupiera en \(1\), entonces
$$\sqrt{2} = \frac{p}{q}$$

Si así fuera y elevaramos al cuadrado los dos lados de la ecuación, tendríamos
$$2 = \frac{p^2}{q^2}$$

y si pasáramos a \(q^2\) del otro lado de la ecuación,
$$2q^2 = p^2$$

lo que nos dice que \(p^2\) sería un número par, divisible entre dos, y entonces \(p\) debería ser también un número par, porque solamente un número par produce otro número par al elevarse al cuadrado,
$$p = 2n$$

y en ese caso tendríamos que
$$ 2q^2 = (2n)^2 = 4n^2$$

Si diviéramos entonces las dos partes entre \(2\), tendríamos que
$$q^2 =2n^2$$

y eso nos diría que \(q\) tendría que ser también un número par
$$q=2m$$

En ese caso
$$\frac{p}{q} = \frac{2n}{2m} = \frac{n}{m}$$

y
$$\sqrt{2} = \frac{n}{m}$$

Pero el argumento anterior aplicaría igual para \(m\) y \(n\), que tendrían que ser pares, y debería haber otros dos números más pequeños que pudieran sustituirlos; y a esos dos, otros dos más pequeños, y así un número interminable de veces. Pero eso es imposible, porque por muy grandes que fueran \(p\) y \(q\), de tanto dividirlos entre \(2\) llegaríamos al \(1\) y ¡no podríamos pasar de ahí!

Por lo tanto, no hay ningún segmento de recta que divida exactamente tanto a \(1\) como a \(\sqrt{2}\) y eso daba al traste con la creencia de Los Pitagóricos en la divinidad de los números enteros. Entonces, ¡decidieron mantenerlo en secreto!

Con el tiempo, se han descubierto muchos otros números que comparten esta misma propiedad: que no se pueden expresar como la razón de dos números enteros y que, por lo tanto, han sido llamados números sin razón; esto es, números irracionales.

¡Qué locura!


La explicación del segundo gran descubrimiento de Los Pitagóricos es esencialmente una demostración completa, salvo porque la afirmación de que solamente un número par puede producir otro número par al elevarse al cuadrado, no se justificó para mantener el foco en el tema central. Pero no es difícil demostrarlo.

El video, en cambio, solamente ilustra la demostración, pero no justifica todos sus pasos. La demostración completa es más laboriosa.

La melodía utilizada como fondo sonoro del video es el Motete para Soprano y Orquesta – 3. Allegro, interpretado por la Advent Chamber Orchestra y disponible de manera gratuita en línea en Free Music Archive.

La raíz de 2

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En la nota anterior (Antes de π) hicimos uso de la raíz de 2 para calcular el valor de π con diferentes grados de precisión:

$$\begin{align*}
2\sqrt{2} &=2.8284…\\
2^2\sqrt{2 – \sqrt{2}}&=3.0614…\\
2^3\sqrt{2 – \sqrt{2+\sqrt{2}}}&=3.1214…\\
2^4\sqrt{2 – \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}&=3.1365…\\
2^5\sqrt{2 – \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}&=3.1403…\\
\end{align*}$$

Pero calcular la raíz de 2 sin una calculadora digital o una computadora no es tan fácil ahora y lo era menos en otros tiempos y otras culturas, como la griega o la romana, que usaban una notación numérica que hacía difícil realizar incluso las operaciones más sencillas de sumar, restar, multiplicar y, ya no se diga, dividir.

Lo que podemos hacer es aplicar el mismo método que usamos para calcular π; esto es, ir aproximadando el valor de \(\sqrt{2}\) hasta lograr la precisión que querramos o necesitemos. Empecemos con el segmento entre 1 y 2 en la recta numérica.

Segmento 1 a 2

Como el cuadrado de 1 es 1 (que es menor que 2) y el cuadrado de 2 es 4 ( que es mayor que 2), la raíz cuadrada de 2 debe estar en alguna parte en ese segmento. Dividamos el segmento por la mitad y consideremos el punto medio, 1.5.

Segmento 1-1.5

Como el cuadrado de 1.5 es 2.25 (que es mayor que 2) entonces la raíz cuadrada de 2 debe estar entre 1 y 1.5, por lo que ahora toca dividir ese segmento por la mitad y considerar su punto medio, 1.25.

Segmento 1.25-1.5

Como el cuadrado de 1.25 es 1.5625 (que es menor que 2) entonces la raíz cuadrada de 2 debe estar entre 1.25 y 1.5 y podemos seguir el mismo procedimiento, cortando este segmento en 1.375, cuyo cuadrado es 1.89062, menor pero bastante cerca ya de 2.

Segmento 1.375-1.5

Si repetimos el procedimiento dos veces más obtenemos los números 1.4375 (que al elevarlo al cuadrado nos da 2.06641) y 1.40625 (que al elevarlo al cuadrado nos da 1.97754).

De esta manera podemos acercarnos a la raíz de 2 tanto como queramos y además sabemos el tamaño máximo de nuestro error: el tamaño del segmento donde se ubica la raíz. Las multiplicaciones se hacen cada vez más largas porque cada vez tenemos más digitos en el último número, pero es el precio que tenemos que pagar por un cálculo cada vez más preciso.

Aproximación a raíz de 2 Error máximo

1.5

0.5

1.25

0.25

1.375

0.125

1.4375

0.0625

1.40625

0.03125

Antes de Pi (π)

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A lo largo de miles de años de habitar el planeta Tierra, los seres humanos han modificando tanto su entorno de vida que nos resulta muy difícil imaginar cómo es que se vivía antes, cuando no había teléfonos celulares ni Internet, ni televisiones, ni automóviles, ni luz eléctrica, ni escuela… Algunos artistas nos han dejado películas, documentales y libros donde nos describen cómo se vivía antes —por ejemplo, en el libro y película Orgullo y prejuicio (Pride and Prejudice) nos describen cómo se vivía a principios del siglo XIX— pero no pueden darnos todos los detalles.

Como las matemáticas no son muy taquilleras 🙁 , es muy difícil que encontremos un video o libro donde nos muestren o expliquen cómo era antes, cuando se desconocía que Pi (π) existía. Por ejemplo, cómo es que se calculaban el área y el perímetro de los círculos si se desconocían sus respectivas fórmulas:

$$A = \pi r^2$$

y

$$P = 2\pi r$$

Se sabe que tanto en China como en la India y Egipto se descubrió que π existía y se logró calcular su valor con cierta precisión (3.1…) hace más de tres mil años; pero fueron los griegos (Arquímedes, para ser precisos) quienes se preocuparon por demostrar que existía  y calcular su valor con mayor precisión, hace poco más de 2250 años, cuando no existía todavía ni siquiera lo que ahora vemos en ruinas (salvo partes de la Muralla China y las grandes pirámides de Giza, en Egipto, que si son muy, muy antiguas).

Acercándonos a π

Si dibujas un círculo de radio arbitrario, al que le llamaremos r, trazas una línea que lo atraviese por su centro y luego trazas otra línea que también lo atraviese por su centro y que sea perpendicular a la otra —lo puedes hacer con escuadras, con regla y compás, o en la computadora con GeoGebra— obtendrás algo como lo que se presenta abajo.

Círculo con cuatro puntos

Círculo atravesado por dos rectas perpendiculares.

Si unimos los puntos consecutivos en la circunferencia (B con C, C con D, D con E y E con B) obtenemos un cuadrado. Para medir sus lados, podemos trazar una perpendicular desde el centro del círculo a uno de ellos y usar el Teorema de Pitágoras.

Cuadrado inscrito al círculo

Cuadrado inscrito al círculo y cálculo de la longitud de sus lados con el Teorema de Pitágoras.

$$\begin{array}{c}
x^2 + x^2 = r^2\\
2x^2 = r^2\\
\displaystyle x = \frac{r}{\sqrt{2}}\\
\displaystyle \overline{EB} = 2x = 2\frac{r}{\sqrt{2}}\\
\overline{EB} = \sqrt{2}r
\end{array}$$

El perímetro del cuadrado es entonces

$$P_4 = 4\sqrt{2}r$$

y es nuestra primera aproximación al perímetro del círculo —esto es, la longitud de su circunferencia. También nos da una primera aproximación al valor de π:

$$\pi \approx 2\sqrt{2} = 2.8284…$$

Nuestra primera aproximación está todavía muy lejos de lo que sabían los matemáticos chinos hace 3,000 años 🙁 de modo que tendremos que acercarnos más. Para ello prolongaremos la línea \(\overline{AF}\) hasta cruzar el círculo, marcaremos el punto de cruce y lo uniremos tanto con B como con E. Haremos la misma construcción en los otros tres lados del cuadrado. ¡El resultado es un octágono regular!

Octágono inscrito en el círculo

Octágono inscrito en el círculo, construido a partir de un cuadrado inscrito en el mismo.

Como en el caso del cuadrado, podemos usar el Teorema de Pitágoras, esta vez en el triángulo BFG, para calcular la longitud de los lados del octágono:

$$\begin{array}{rl}
{\overline{GB}}^2 =& x^2 + {\overline{FG}}^2\\
=& x^2 + (r – x)^2\\
=&\displaystyle {\left(\frac{r}{\sqrt{2}}\right)}^2 + {\left(r – \frac{r}{\sqrt{2}}\right)}^2\\
=&\displaystyle {\left(\frac{r}{\sqrt{2}}\right)}^2 + {\left(\frac{r(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}\right)}^2\\
=&\displaystyle \frac{r^2}{2}(1 + 2 – 2\sqrt{2} + 1)\\
=&\displaystyle \frac{r^2}{2}(4 – 2\sqrt{2})\\
=&\displaystyle (2 – \sqrt{2})r^2\\
\overline{GB} =& \sqrt{2-\sqrt{2}}r
\end{array}$$

El perímetro del octágono es entonces

$$P_8 = 8\sqrt{2-\sqrt{2}}r$$

y con ello tenemos nuestra segunda aproximación a la longitud de la circunferencia y, al mismo tiempo, al valor de π:

$$\pi\approx 4\sqrt{2-\sqrt{2}} = 3.0614…$$

Mucho mejor ¿no crees? aunque todavía un poco lejos de los egipcios de hace tres mil años 🙁 . Sin embargo, hemos descubierto un método que nos permite calcular la longitud de la circunferencia y el valor de π con tanta precisión como queramos. Si no nos gusta el resultado con el octágono, podemos construir un polígono de 16, 32, 64, o \(2^n\) lados, donde \(n\) sea el número que queramos —de hecho, con uno o dos polígonos más te darías cuenta de que las fórmulas resultantes tienen un patrón que permite saber cuáles son las que siguen sin construir los polígonos correspondiente 😉 .

Los valores aproximados de π a partir de los primeros cinco polígonos (4, 8, 16, 32 y 64 lados, respectivamente) son los siguientes:

Número de lados Valor aproximado de pi
4 2.8284…
8 3.0614…
16 3.1214…
32 3.1365…
64 3.1403…

En cada caso, el perímetro del círculo se aproxima multiplicando su radio por una constante, cuyos dígitos van quedando cada vez mejor definidos —primero el 3 queda fijo, luego el 1, y así sucesivamente— lo cual sugiere que π realmente existe y que podemos acercarnos a ella tanto como sea necesario. Este fue un gran descubrimiento de Arquímedes, que ahora tú compartes.

Bibliografía

Número π. (2016, 25 de marzo). Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 00:19, marzo 27, 2016.

Posdata

Hay muchas afirmaciones en el texto de esta nota que, si bien son ciertas, no se demuestran, para simplificar la redacción y llegar más rápido y claramente a los puntos importantes; pero la mayor parte de ellas no sin difíciles de demostrar.


Este post participa en la Edición 8.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el Blog Semillas.